Актёр театра на Малой Бронной. Заслуженный артист Таджикской ССР (1942). Родился в семье крестьянина. Его отец погиб во время империалистической войны, а мать была домашней хозяйкой. В 1922 году Александр поступил в сельскую школу, а затем перешёл в семилетку. Будучи школьником, он увлёкся театром, стал посещать драматический кружок при селе и участвовать в школьных вечерах. В 1930 году Ширшов поступил на драматическое отделение Государственного театрального комбината по классу А.П. Петровского и сразу по его окончании в 1933 году был принят в литературно-драматическую мастерскую под руководством Алексея Дикого. В 1935 году, в связи с выездом мастерской в Ленинград, Ширшов перешёл в Московский ТРАМ, а затем, в 1937 году, вместе с товарищами по учёбе выехал в город Сталинабад (ныне - Душанбе) в созданный там Русский драматический театр имени Маяковского, где работал до марта 1944 года и был одним из ведущих актёров. С 1944 по 1946 годы Александр Ширшов играл в Ленинградском театре комедии, а в 1946 году вошёл в труппу Московского драматического театра (с 1968 года — Театр на Малой Бронной), где работал до ухода на пенсию в 1983 году.